ఒకానొక అజ్ఞానపు క్షణంలో. . . నాకు తెలీకుండా నేనే జన్మించి,  అమ్మ చనుబాలలో ఆది సంవేదన అనుభవించి. . .ఆటపాటలలో అద్వితీయుడనై రాణించి. . .సంఘ విద్యా సముపార్జనలో సారస్వత చక్రవర్తినై, పుస్తకాల్ని పఠించి. . .పరీక్షల్ని పరివీక్షించి. . .ఆత్మజ్ఞాన అవలోకనంలో విలువల వలువలు వూడదీసి. . .విశ్వతత్వాలు స్మరించి. . . మానవ శ్రేయస్సు మహా లక్ష్యమై పోగా. ."ఈ ప్రపంచపు దొడ్డబిడ్డగా ఉద్భవించాల"నీ, "ఒక పూర్తి మానవుడిగా పరిణమించాల"నీ, నేను కంటున్న కల,  కడుతున్న కోట. . .ఒహ్ ఇంతెందుకు కనుచూపు మేరలో. . . నా జీవితం ఒక వేద సంకలనం!!  నేనొక ఈశ్వరుడిని!!! ( ఇది ఈ బ్లాగులోని ప్రసంగి కథలో ఒక పాత్ర మనోభావాలు __ రచయిత )

Showing posts with label జీనో పేరడాక్స్. Show all posts
Showing posts with label జీనో పేరడాక్స్. Show all posts

Tuesday, October 9, 2007

జీనో పేరడాక్స్ లూ – పూర్వపక్షం!..4

జీనో పేరడాక్స్ లూ – పూర్వపక్షం!

“చూశారా! నేను జీనో పేరడాక్సుల మాయా పద్మవ్యూహపు ముడులు సైతం విప్పగలుగుతున్నాన”నే భేషజం కోసమో, మహోజ్వలమైన, విలక్షణమైన గ్రీకు తత్వశాస్త్ర చరిత్రలో ‘కలికితురాయి’ లాంటి ‘జీనో’ వంటి మహోన్మహుడ్ని కించపరచాలనుకోవడమో ఈ వ్యాస ఉద్దేశ్యం కాదు. ఒక సామాన్యుడనైన నేను గ్రీకు తత్వశాస్త్రానికే ప్రౌఢ గాంభీర్యాన్ని అలిమి, కొత్త పుంతలు తొక్కించిన జీనో వారికి ఏ మాత్రం గానూ, మరే విధంగానూ సాటిరాను. కాకుంటే ఒక తత్వవేత్త ఒక విషయాన్ని తన తర్కం ద్వారా నిరూపణకి తీసుకువచ్చినప్పుడు, అతడు తద్వతిరేకమైన వాదనలో ఏ విషయాలు విస్మరించాడో ప్రపంచానికి తెలియచెప్పే భావప్రకటనా స్వేచ్ఛ ఈ లోకంలో ప్రతివారికి లాగానే నాకూ వుంది. ఆ ప్రయత్నంలో భాగమే ఈ వ్యాసం. దానికి తగ్గట్టుగానే ఆనాడు “విశ్వదర్శనం”లో శ్రీ నండూరి రామమోహన రావు వారు చెప్పిన మాటలు చూడండి.

“ప్రతిదీ కామన్ సెన్స్ కు అనుగుణంగా వుండాలన్న వాదం కుదరదు. జీనో వంటి పారభౌతికవాదుల సిద్ధాంతాలు కేవలం తర్కాన్ని ఆధారం చేసుకున్నట్టివి. అవి అసంబద్ధంగా వున్నవని తోస్తే వాటిని తిరిగి తర్కంతోనే పూర్వపక్షం చేయాలి. ఏమైనా చాలా శతాబ్దాల పాటు కొరుకుడు పడని జీనో పేరడాక్సుల పద్మవ్యూహాన్ని ఈ శతాబ్దంలో అభివృద్ధి అయిన నూతన గణితశాస్త్రాన్ని ఉపయోగించి ఛేదించడం సాధ్యమైందని అంటున్నారు.” (విశ్వదర్శనం, ప్రధమ ప్రచురణ పుట.60).

ఈ మాటలే ఈ వ్యాసానికి ప్రేరణ. ఏదియేమైనా, పాచ్య, పాశ్చాత్య తత్వశాస్త్రాల్ని తెలుగు ప్రజానీకానికి పరిచయం చేసి, ఆయనే స్వయంగా అన్నట్టు నా వంటి సామాన్యుల మనః కుహరాంతరాలలోనికి సైతం జొచ్చి, మా చేత మరో కొలంబస్ అమెరికా ఖండ యాత్రనూ, మరో చంద్రలోక యాత్రనూ చేయించిన శ్రీ నండూరి రామమోహన రావు వారు ఎనభై సంవత్సరాల వయసుకి దగ్గరగా విజయవాడలో నివసిస్తున్నట్టు తెలియవస్తున్నది(తప్పయితే క్షమించగలరు). వారికీ, వారి సాహిత్య సేవలకూ శిరస్సు వంచి పాదాభివందనం చేస్తూ, ఆయనకు మరిన్ని ఆయురారోగ్యాలు ప్రసాదించాలని భగవంతుడుని ప్రార్థిస్తూ, ఈ వ్యాసం ముగిస్తున్నాను.

(సమాప్తం)

జీనో పేరడాక్స్ లూ – పూర్వపక్షం!..3

(కడచిన 2400 సంవత్సరాలుగా తత్వవేత్తలను తికమక పెడుతున్న ఈ ‘జీనో’ అనబడే ఒక మేధావి గ్రీకు తత్వవేత్త పేరడాక్సుల్ని ఒక మామూలు ఆంధ్ర రచయితనైన నేను పూర్వపక్షం చేయబూనడం తత్వశాస్త్రంతో పరిచయమున్నవారికి హాస్యాస్పదంగా అన్పించవచ్చు. అయినప్పటికీ నాకు తెలిసిన, నేను విశ్వసించిన ఈ ప్రయత్నం నేను మానుకోబోను. నేనీ పేరడాక్సుల్ని పూర్వపక్షం చేయగలిగినా, చేయ విఫలమైనా కనీసం వాటిని స్పృశించ సాహసించ గలుగుతున్నందుకు గర్వపడుతున్నాను. ఈ ప్రయత్నంలో నేనెంత వరకూ కృతకృత్యుడనయ్యానో చెప్పవలసింది మీరే!)

జీనో పేరడాక్స్ లూ – పూర్వపక్షం!

మూడవ పేరడాక్స్:

3. మూడవ పేరడాక్స్ చాలా ఆసక్తికరమైనది. ఇది ప్రపంచంలో చలనం అనేది లేదని చెప్పడానికి ఉద్దేశించినట్టిది. దీనికి ఉదాహరణగా కదులుతున్న బాణం నిజంగా కదలడంలేదని జీనో అంటాడు.

మనం బాణం వేశామనుకోండి. ఆ బాణం ఏ నిర్దిష్ట క్షణంలోనైనా తన పొడవుతో సమానమైన స్థలంలో వుండవలసిందే కదా? అంటే ఆ క్షణంలో అది ఆ స్థలంలో నిశ్చలంగా, కదలకుండా వున్నదన్నమాట. ఆ క్షణంలో దాని వేగం గంటకు సున్నా మైళ్ళు. మరుక్షణంలో కూడా అంతే. అది తన పొడవుతో సమానమైన స్థలంలో నిశ్చలంగా వుంటుంది. అప్పుడు కూడా దాని వేగం గంటకు సున్నా మైళ్ళు. ఈ విధంగా ఆ తర్వాత వచ్చే అన్ని క్షణాలలోనూ కూడా దాని వేగం సున్నా మైళ్ళే. అయితే ఎన్ని సున్నాలను కలిపినా వచ్చేది సున్నా మైళ్ళ వేగమే కదా? అంటే బాణం కదలడం లేదన్నమాట.

దీన్నే సి.ఇ.ఎం. జోడ్ మరికొంత సులభంగా వివరించాడు. అతడి వివరణ ప్రకారం మనం వేసిన బాణం తన ప్రయాణ కాలంలో ఏ క్షణంలోనైనా సరే తను వున్నచోటనైనా వుండాలి. లేదా లేనిచోటనైనా వుండాలి. ఉన్నచోటే వున్నదంటే అది ఆ క్షణంలో కదలడంలేదన్న మాటేగా? ఎందుకంటే అది కదులుతున్న పక్షంలో వున్నచోట వుండలేదు కదా? పోనీ లేనిచోట వున్నదని అనుకుందామంటే అది ఎలా సాధ్యం? ఒక వస్తువు తను లేనిచోట ఎలా వుంటుంది? కనుక ఆ నిర్దిష్ట క్షణంలో బాణం కదలడం లేదన్నమాటే. ఇదే చలనరాహిత్యం దాని తర్వాత వచ్చే క్షణాలన్నింటికి వర్తిస్తుంది. కనుక ఏ క్షణంలో చూచినా బాణం చలనరహితంగానే వుంటుంది. మొత్తంపై కదులుతున్నదని మనం అనుకుంటున్న బాణం కదలడంలేదని స్పష్టమవుతుంది. (విశ్వదర్శనం, ప్రధమ ప్రచురణ పుట.58&59).


ఈ పేరడాక్స్ కి నేనిస్తున్న పూర్వపక్ష రూపం!

ఎంతో క్లిష్టంగా అన్పించే ఈ పేరడాక్స్ ముడిని చాలా తేలికగా, కేవలం కొన్ని పదాల్ని మార్చడం ద్వారా విప్పి, పూర్వపక్షం చేయవచ్చు. ఈ పేరడాక్స్ లో జీనో యుక్తి బాణం చలనాన్ని ఏ నిర్దిష్ట క్షణంలోనైనా తన పొడవుతో సమానమైన స్థలంలో వుండవలసిందే కదా? అనే నిర్వచనంతో ముడిపడివుంటుంది. అసలు చలనమంటే బాణం ఏ నిర్దిష్ట క్షణంలోనైనా తన పొడవుతో సమానమైన స్థలంలో వుండవలసిందేనని ఎవరన్నారు?

ఇప్పుడు చూడండి! ఎంత సులభంగా ఈ పేరడాక్స్ ముడి విడిపోతుందో.

జీనో పద్దతేలోనే. . .మనం బాణం వేశామనుకోండి. ఆ బాణం ఏ నిర్దిష్టం కాని క్షణంలోనైనా తన పొడవుతో సమానం కాని స్థలంలో వుండవలసిందే కదా? అంటే ఆ క్షణంలో అది ఆ స్థలంలో చలిస్తూ, కదుల్తూ వున్నదన్నమాట. ఆ క్షణంలో దాని వేగం గంటకు (+) ప్లస్ మైళ్ళు. మరుక్షణంలో కూడా అంతే. అది తన పొడవుతో సమానం కాని స్థలంలో చలిస్తూ వుంటుంది. అప్పుడు కూడా దాని వేగం గంటకు (+) ప్లస్ మైళ్ళు. ఈ విధంగా ఆ తర్వాత వచ్చే అన్ని క్షణాలలోనూ కూడా దాని వేగం (+) ప్లస్ మైళ్ళే. అయితే ఎన్ని (+) ప్లస్ లను కలిపినా వచ్చేది (+) ప్లస్ మైళ్ళ వేగమే కదా? అంటే బాణం కదుల్తూ వుందన్నమాట.

చూడండి. తర్కంతో ఈ పేరడాక్స్ ముడి ఎంత తేలిగ్గా విడిపోయిందో!

తర్వాత, సి.ఇ.ఎం. జోడ్ విషయం ఏంటో ఇప్పుడు చూద్దాం!

“బాణం తన ప్రయాణ కాలంలో ఏ క్షణంలోనైనా సరే తను వున్నచోటనైనా వుండాలి. లేదా లేనిచోటనైనా వుండాలి.” చలనానికి సి.ఇ.ఎం. జోడ్ యిచ్చిన ఈ నిర్వచనం లోపభూయిష్టమయింది. కనుక యిది చెల్లదు.

చలనానికి అసలైన నిర్వచనం నేనిస్తున్నాను చూడండి.

“బాణం తను పూర్వం వున్నచోటి నుండి పూర్వం లేని చోటికి చేరుకోవడమే చలనం.” అయితే బాణం ప్రస్తుతంలో ఎక్కడుంది? ఎక్కడున్నదంటే. . .ప్రస్తుతంలో, అన్నిచోట్లలో వుంటూ అదే సమయంలో ఏ చోటా లేకపోవడమనే ధారాసదృశమైన వైరుధ్యమే చలనం!

( సశేషం )

Monday, October 8, 2007

జీనో పేరడాక్స్ లూ – పూర్వపక్షం!..2

(కడచిన 2400 సంవత్సరాలుగా తత్వవేత్తలను తికమక పెడుతున్న ఈ ‘జీనో’ అనబడే ఒక మేధావి గ్రీకు తత్వవేత్త పేరడాక్సుల్ని ఒక మామూలు ఆంధ్ర రచయితనైన నేను పూర్వపక్షం చేయబూనడం తత్వశాస్త్రంతో పరిచయమున్నవారికి హాస్యాస్పదంగా అన్పించవచ్చు. అయినప్పటికీ నాకు తెలిసిన, నేను విశ్వసించిన ఈ ప్రయత్నం నేను మానుకోబోను. నేనీ పేరడాక్సుల్ని పూర్వపక్షం చేయగలిగినా, చేయ విఫలమైనా కనీసం వాటిని స్పృశించ సాహసించగలుగుతున్నందుకు గర్వపడుతున్నాను. ఈ ప్రయత్నంలో నేనెంత వరకూ కృతకృత్యుడనయ్యానో చెప్పవలసింది మీరే!)

జీనో పేరడాక్స్ లూ – పూర్వపక్షం!

ఇక రెండవ పేరడాక్స్.

అకిలీజ్, తాబేలు

2. హోమర్ వ్రాసిన ఇతిహాస కావ్యం “ఇలియడ్” లో అకిలీజ్ అనే మహా వీరుడున్నాడు. ఉదాహరణ కోసం ‘జీనో’ అతడికి, ఒక తాబేలుకు పరుగు పోటీ పెట్టాడు. తాబేలు మెల్లగా నడుస్తుందని ప్రతీతి. కనుక, అకిలీజ్ తాబేలును తనకంటే పదిగజాల ముందు నిలబెట్టి పోటీ ప్రారంభిస్తాడు. ఈసప్ కథలోనైతే కుందేలు-తాబేలు పరుగు పందెంలో కుందేలు దారి మధ్యలో ధీమాగా నిద్రపోవడం వల్ల తాబేలు దాన్ని దాటిపోయి పందెం గెలుస్తుంది. జీనో పేరడాక్స్ లో అలా కాదు. అకిలీజ్ ఎంత పిక్కబలం కలవాడైనా తాబేలును అసలు ఎన్నటికీ దాటిపోలేడని జీనో అంటాడు.

పోటీ ప్రారంభంలో తాబేలు అకిలీజ్ కంటే పది గజాల ముందు వున్నది కదా? అకిలీజ్ ఆ పది గజాల దూరాన్ని దాటేలోగా తాబేలు కొంతదూరం ముందుకు పోయి వుంటుంది. ఆ స్థలాన్ని అకిలీజ్ చేరుకునేలోగా తాబేలు అక్కడినుంచి మరి కొంత దూరం ముందుకు పోతుంది. అకిలీజ్ ఆ స్థలాన్ని చేరేలోగా తాబేలు ఇంకా ముందుకు పోతుంది. అది వున్న చోటికి అకిలీజ్ వెళ్ళేలోగా తాబేలు ఇంకా ముందుకు జరిగి వుంటుంది. . . .ఈ విధంగా అకిలీజ్ తాబేలును ఎన్నటికి దాటి ముందుకు పోలేడని జీనో అంటాడు. (విశ్వదర్శనం, ప్రధమ ప్రచురణ పుట.58)


ఈ పేరడాక్స్ కి నేనిస్తున్న పూర్వపక్ష రూపం!


ఈ పేరడాక్స్ లో జీనో యుక్తి అకిలీజ్ కి తాబేలుకీ మధ్యనున్న పది గజాల స్థలం వద్ద వ్యక్తమవుతుంది. అకిలీజ్ ఆ పది గజాల దూరాన్ని దాటే లోగా తాబేలు కొంత దూరం ముందుకుపోయి వుంటుంది కదా. అంటూ మనల్ని నిలదీసి, ఏమారుస్తాడు.

నేను దాన్నిప్పుడు పరిగణనలోకి తీసుకోను. పోటీ ప్రారంభం కాగానే తాబేలు దాటబోయే ఒక పది గజాలు దూరాన్ని తీసుకుంటాను. పోటీ ప్రారంభంలో తాబేలు ఒక పది గజాలు దూరం దాటే లోగా అకిలీజ్ పదకొండు గజాలు దూరం దాటుతాడనుకుందాం. ఎందుకంటే అకిలీజ్ కి పిక్కబలం ఎక్కువ కదా. అలాగే తాబేలు మరో పది గజాలు దూరం దాటేలోగా మరో పదకొండు గజాలు దాటుతాడు. అలా ఒక నిర్ణీత ప్రదేశాన్ని అంటే తాబేలు నూరు గజాలు దూరం దాటే సరికి అకిలీజ్ తాబేలుని చేరుకుని సమానమౌతాడు. అపైన పది గజాలు దూరంలో తాబేలుని దాటి ఒక గజం ముందుకెళ్ళిపోతాడు. ఆ తర్వాత పది గజాలు దూరంలో తాబేలుని దాటి ఇంకో గజం ముందుకెళ్ళిపోతాడు ఈ విధంగా అకిలీజ్ తాబేలును ఎన్నడైనా అవలీలగా దాటి ముందుకు పోగలడు.

ఇక మూడవ పేరడాక్స్ చాలా తమాషాగా, విడ్డూరంగా వుంటుంది.
( సశేషం )

Saturday, October 6, 2007

జీనో పేరడాక్స్ లూ – పూర్వపక్షం!..1

(కడచిన 2400 సంవత్సరాలుగా తత్వవేత్తలను తికమక పెడుతున్న ఈ ‘జీనో’ అనబడే ఒక మేధావియైన గ్రీకు తత్వవేత్త పేరడాక్సుల్ని ఒక మామూలు ఆంధ్ర కథా రచయితనైన నేను పూర్వపక్షం చేయబూనడం తత్వశాస్త్రంతో పరిచయమున్నవారికి హాస్యాస్పదంగా అన్పించవచ్చు. అయినప్పటికీ నాకు తెలిసిన, నేను విశ్వసించిన ఈ ప్రయత్నం నేను మానుకోబోను. నేనీ పేరడాక్సుల్ని పూర్వపక్షం చేయగలిగినా, చేయ విఫలమైనా కనీసం వాటిని స్పృశించ సాహసిస్తున్నాను. ఈ ప్రయత్నంలో నేనెంత వరకూ కృతకృత్యుడనయ్యానో చెప్పవలసింది మీరే!)

జీనో పేరడాక్స్ లూ – పూర్వపక్షం!

జీనో పేరడాక్సుల్ని యథాతథంగా నేను ఆంగ్లంలో కానీ మరే యితర భాషలలోగానీ చదవడం జరగలేదు. ఈ వ్యాసం కేవలం శ్రీ నండూరి రామమోహనరావు గారి విశ్వదర్శనం (పాశ్చాత్య తత్వ మీమాంస) గ్రంథ ప్రధమ ప్రచురణ, ఆగష్టు 1988 ఆధారంగా వ్రాయబడుతోంది.

గ్రీకు తత్వవేత్తలలో ముఖ్యుడైన నిరంతర పరివర్తనవాది హెరాక్లిటస్ (క్రీస్తుపూర్వం 535-475) “విశ్వంలో స్థిరమైనది ఏదీ లేదు. ప్రతిదీ మరొక దానిగా మారిపోతున్నది. మార్పునకు లోనుగాని వస్తువంటూ లేదు. అన్నీ చలిస్తూ మారిపోతూ వుంటాయి. ప్రపంచం నిరంతర పరివర్తనశీలం. మారనిది మార్పు ఒక్కటే.” అన్నాడు.

ఆ తర్వాత వాడైన పారభౌతిక తాత్వికుడు పార్మెనిడీజ్ (క్రీస్తుపూర్వం 540-470) “ప్రపంచంలో మార్పు లేనేలేదు. ఏదీ మారదు. మారుతుందని అనుకోవడం భ్రమ.” అన్నాడు. పార్మెనిడీజ్ సిద్ధాంతాలు సమకాలికులలో గొప్ప సంచలనం కలిగించినవని, ముఖ్యంగా పితాగరస్ అనుయాయులు వాటిని ఖండించడానికి ప్రయత్నించారని చరిత్రకారులు చెబుతున్నారు. అస్తిత్వం లేదా సత్తా (being) ఒకటేనని, దానిలో బాహుళ్యం (Multiplicity) లేదని పార్మెనిడీజ్ అన్నాడు కదా? ఇది గణితరీత్యా తర్కానికి నిలవదని నిరూపించడానికి వారు ప్రయత్నించారు.

కాగా, తన గురువును ఈ విమర్శల నుంచి కాపాడడానికి పార్మెనిడీజ్ శిష్యుడు జీనో (క్రీస్తుపూర్వం 490-430) ప్రయత్నించాడు. తన గురువు సిద్థాంతాలను సమర్థించడానికి జీనో నాలుగు పేరడాక్స్ లను ఉదాహరించాడు. (ఒక ప్రతిపాదన స్వయం విరుద్ధంగా, అసంబద్ధంగా కనిపిస్తే దాన్ని పేరడాక్స్ – విరోధాభాస – అంటారు). ఇవి పాశ్చాత్య తత్వశాస్త్ర చరిత్రలో సుప్రసిద్ధాలైన పేరడాక్స్ లు. కడచిన 2400 సంవత్సరాలుగా ఇవి తత్వవేత్తలను తికమక పెడుతున్నాయి. వాటిని మింగడానికి వీలు లేదు. కక్కడానికీ వీలు లేదు. పచ్చి వెలక్కాయవలె గొంతుకకు ఆడ్డుపడుతున్నాయి.

“పార్మెనిడీజ్ చెప్పినట్లు యాధార్థ్యం (reality) అనేది ఒకటిగా, అవిభాజ్యంగా లేదు అనుకోండి. అప్పుడు యాధార్థ్యం సావధికం (finite), నిరవధికం (infinite) కూడా అవుతుంది. ఇది అసంబద్ధం కాదా?” అని జీనో ప్రశ్నించాడు.(విశ్వదర్శనం, ప్రధమ ప్రచురణ పుట.57)

దీన్ని నిరూపించడానికి అతడు పేర్కొన్న పేరడాక్సులు ఇవిః

మొదటి పేరడాక్స్

1. ఒక నిర్ణీత స్థలం నుంచి మరొక నిర్ణీత స్థలానికి వెళ్ళడం అసాధ్యం. ఉదాహరణకు నూరు మీటర్ల పరుగుపందెం మనం ఏర్పాటు చేశామనుకోండి. పందెంలో పాల్గొనే వ్యక్తి నిర్ణీత కాలంలో నూరు మీటర్లను పరుగెత్తడానికి ముందు 50 మీటర్లు పరుగెత్తాలి. దానికి ముందు 25 మీటర్లు పరుగెత్తాలి. దానికి ముందు పన్నెండున్నర మీటర్లు పరుగెత్తాలి. దానికిముందు అదులో సగం దూరం దాటాలి. ఇలాగ స్థలాన్ని అంతులేనన్ని భాగాలు చేయటానికి వీలున్నది. కనుక, వాటిలో ప్రతి భాగాన్ని అతడు దాటితే తప్ప అడుగు ముందుకు వేయలేడు. కనుక, అతడు ఎన్నడూ కాలు కదపలేడు. అతని కిచ్చిన కాలం పరిమితమైనది. కాని దాటవలసిన స్థలంలో అపరిమితమైన – పరిమితిలేనన్ని – విభాగాలున్నాయి. కనుక పరిమిత కాలంలో అపరిమితంగా వున్నస్థల విభాగాలను దాటడం సాధ్యం కాదు.

ఇది మొదటి పేరడాక్స్!

ఈ పేరడాక్స్ కి నేనిస్తున్న పూర్వపక్ష రూపం!

జీనో గొప్ప తార్కికుడు. అతడు ఈ పేరడాక్స్ లో స్థలాన్ని అపరిమితమైన విభాగాలుగా విడగొట్టాడు. అదే సమయంలో కాలాన్ని విభజించకుండా యుక్తిని ప్రదర్శించాడు. అసలు ఆ నిర్ణీత స్థలాన్ని దాటడానికి పట్టే సమయం అంటే కాలం ఎంతో ప్రస్తావించ లేదు. ఆ వివరణ లేకుండానే అపరిమితమైన స్థల విభాగాలను పరిమిత కాలంలో దాటడం సాధ్యం కాదన్నాడు.

ఉదాహరణకు నూరుమీటర్ల స్థలాన్ని దాటడానికి రెండు నిముషాల కాలం అవసరమనుకుందాం. జీనో తర్క పద్దతిలోనే పందెంలో పాల్గొనే వ్యక్తి నిర్ణీత స్థలంలో రెండు నిముషాలు పరుగెత్తడానికి ముందు ఒక నిముషం పరుగెత్తాలి. దానికి ముందు 50 సెకన్లు పరుగెత్తాలి. దానికి ముందు 25 సెకన్లు పరుగెత్తాలి. దానికి ముందు అందులో సగం కాలం దాటాలి. ఇలాగ కాలాన్ని అంతులేనన్ని భాగాలు చేయటానికి వీలున్నది. కనుక, ప్రతి స్థలభాగాన్ని ప్రతి కాలభాగంతో దాటుతూ అడుగు ముందుకు వేయగలడు. కనుక, అతడు ఎల్లప్పుడూ కాలు కదుపుతూనే వుంటాడు. అతని కిచ్చిన కాలంలో అపరిమితమైన – పరిమితిలేనన్ని – విభాగాలున్నాయి. అలాగే, దాటవలసిన స్థలంలో అపరిమితమైన – పరిమితిలేనన్ని – విభాగాలున్నాయి. కనుక, అపరిమితమైన కాలంలో అపరిమితంగావున్న స్థల విభాగాలను దాటడం సాధ్యం!

(సశేషం)